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Explicación de ejercicios de probabilidades https://www.youtube.com/watch?v=2y6zs8o-YWg

Teorema de la probabilidad total

Teorema de la probabilidad total

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:

Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.

La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:

Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%

Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.

Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.

A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.

Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.
Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas.

¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?

La respuesta que nos da el teorema de Bayes es que esa información adicional hace que la probabilidad sea ahora 0,595.

Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.

Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.

Con base en la definición de Probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

${\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum _{k=1}^{n}P(B|A_{k})P(A_{k})}}....[1]}$Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional de cualquiera de los eventos ${\displaystyle P(A_{i})}$, dado. ${\displaystyle B}$ La fórmula

"ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias"

APLICACIONES:

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso. Otra aplicación se encuentra en la fusión de datos, combinando información expresada en términos de densidad de probabilidad proveniente de distintos sensores.

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

Probabilidad Condicional

 Si A y B son dos eventos, se define la probabilidad de A dado B como la probabilidad de que ocurra el evento A cuando el evento B ya ocurrió o se tiene la certeza de que ocurrirá, y se calcula como

 P ( A / B ) = P ( B ) P ( A ∩B ) ; P ( B ) ≠ 0

De la misma manera, se define la probabilidad de B dado A como la probabilidad de que ocurra el evento B cuando el evento A y ocurrió o se tiene la certeza que de ocurrirá.

Esta probabilidad se calcula como

P ( B / A ) = P ( A ) P ( A ∩B ) ; P ( A ) ≠ 0 Teorema 4.1.1 ( Regla de la multiplicación )

Si A y B son dos eventos, entonces P ( A ∩ B ) = P ( B ) P ( A / B )

Y también P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B / A )

Probabilidad independencia

Dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de A, y también la probabilidad de B dado A es igual a la probabilidad de B, es decir, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no modifica en nada la probabilidad de ocurrencia de otro.

 Esto es, A y B son independientes si P ( A / B ) = P ( A ) y también P ( B / A ) = P ( B )

Teorema Dos eventos A y B son eventos independientes sí y sólo sí P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Diferencia de probabilidades clásica, frecuencial y axiomática

Concepto clásico de Probabilidad

Una de las características de un experimento aleatorio es que no se sabe qué resultado particular se obtendrá al realizarlo. Es decir, si A es un suceso asociado con un experimento aleatorio, no podemos indicar con certeza si A ocurrirá o no en una prueba en particular. Por lo tanto, puede ser importante tratar de asociar un número al suceso A que mida la probabilidad de que el suceso ocurra. Este número es el que llamaremos P(A).

 Probabilidad Clásica o a Priori

Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables,  y m de ellas poseen una característica A

                           

             

Ejemplo 1: P(de que salgan dos caras al tirar 2 monedas)

                            

    

P(de que salga una cara al tirar 2 monedas )

                       

Ejemplo 2: P(de que salga un varón al tomar 2 bebés y observar su sexo)

                                               

   

Probabilidad empírica o frecuencia

Una teoría de mayor aplicación y muy sostenida es la basada en la frecuencia relativa. Puede atribuirse a este punto de vista el adelanto registrado en la aplicación de la probabilidad en la Física, la Astronomía, la Biología, las Ciencias Sociales y los negocios.

Esta teoría está estrechamente relacionada con el punto de vista expresado por Aristóteles: “lo probable es aquello que ocurre diariamente”.

Notamos a través de gran cantidad de observaciones acumuladas con los diversos juegos de azar una forma general de regularidad que permitió establecer una teoría.

Supongamos que efectuamos una serie de n repeticiones del experimento E, intentando mantener constantes las condiciones pertinentes. Sea f el número de repeticiones en las que se presenta el suceso A, de forma que en las restantes n – f no se presentará. Obtendremos así una serie de frecuencias relativas para n₁, n₂ ….

                       

Estas frecuencias relativas diferirán poco entre sí cuando las n_i sean grandes y tenderán a acumularse en la proximidad de un valor fijo.

Debemos señalar que la estabilidad, a la larga, de las frecuencias relativas se aplica a una amplia clase de experimentos aleatorios, de los que el juego de azar constituye un caso en particular, casi insignificante.

Para establecer una descripción matemática sencilla de la conducta de las frecuencias relativas para grandes valores de n_, vamos a postular la existencia de un nro. p que es el nro. al cuál tiende f_r, es decir, la frecuencia relativa del suceso en estudio.

Este número se llamará probabilidad del suceso A en relación con el experimento aleatorio E.

La frecuencia relativa f_r se considerará entonces como una medida experimental de la probabilidad y diremos:

“De acuerdo con el concepto empírico de la estabilidad de las razones frecuenciales cabe esperar que, para grandes valores de n, la razón frecuencial  observada sea aproximadamente igual a p que se llamará probabilidad del suceso en estudio”.

Estaremos entonces “estimando” el valor de una probabilidad desconocida por medio de un estudio de la conducta de las frecuencias relativas del hecho o suceso correspondiente.

La aplicación de esta definición está relacionada con un experimento aleatorio que puede ser repetido varias veces en condiciones uniformes. Naturalmente, la repetición real será en ocasiones difícil o incluso imposible de realizar, por ejemplo, debido a los costos prohibitivos de experimentación, pero bastará con que sea concebible una repetición en condiciones uniformes.

Probabilidad axiomática

Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso basado en la experiencia previa, la opinión personal o la intuición del individuo. En este caso después de estudiar la información disponible, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos basado en el grado de creencia de que el suceso pueda ocurrir

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y ESPACIO MUESTRAL.

EXPERIMENTOS ALEATORIOS.

Cuando se realiza un experimento puede ser de dos clases:

-Determinista: un experimento que siempre que se repita con las mismas condiciones iniciales se obtiene igual resultado.

 -Aleatorio: cuando al repetirse con las mismas condiciones iniciales, no se puede predecir el resultado. (Ejemplo: lanzar un dado ó extraer una carta).

Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento a pesar de haberlo realizado en similares condiciones.

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o azar, es decir, que bajo las mismas condiciones no se puede repetir dos veces. Es como si lanzaras dos dados y te caerán 1,1 ó 1,2 ó 3,6 entre otros

Ejemplo: S(1,2)(1,2)(1,3) entre otros.

ESPACIO MUESTRAL

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra E. Ejemplo: lanzar una moneda, lanzar dos dados

Ejemplo del espacio muestral

El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

También otro ejemplo sería el experimento de arrojar un dado y ver qué sale. En este caso, el espacio muestral es:

Conceptos Básicos

CONCEPTOS BÁSICOS

A) EXPERIMENTO.- Es toda acción sobre la cual vamos a realizar una medición u observación, es decir cualquier proceso que genera un resultado definido.

B) EXPERIMENTO ALEATORIO.- Es toda actividad cuyos resultados no se determinan con certeza. Ejemplo: lanzar una moneda al aire. No podemos determinar con toda certeza ¿cuál será el resultado al lanzar una moneda al aire?, por lo tanto constituye un experimento aleatorio.

C) ESPACIO MUESTRAL (S).- Es un conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Ejemplo: sea el experimento E: lanzar un dado y el espacio muestral correspondiente a este experimento es: S = (1, 2, 3, 4, 5, 6).

D) PUNTO MUESTRAL.- Es un elemento del espacio muestral de cualquier experimento dado.

E) EVENTO O SUCESO.- Es todo subconjunto de un espacio muestral. Se denotan con letras mayúsculas: A, B, etc. Los resultados que forman parte de este evento generalmente se conocen como "resultados favorables". Cada vez que se observa un resultado favorable, se dice que "ocurrió" un evento. Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar un dado. Un posible evento podría ser que salga número par. Definimos el evento de la siguiente manera: A = sale número par = (2, 4, 6(, resultados favorables n(E) = 3

Los eventos pueden ser:

I) Evento cierto.- Un evento es cierto o seguro si se realiza siempre. Ejemplo: Al introducirnos en el mar, en condiciones normales, es seguro que nos mojaremos.

II) Evento imposible.- Un evento es imposible si nunca se realiza. Al lanzar un dado una sola vez, es imposible que salga un 10

III) Evento probable o aleatorio.- Un evento es aleatorio si no se puede precisar de antemano el resultado. Ejemplo: ¿Al lanzar un dado, saldrá el número 3?

F) PROBABILIDAD.- Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 (evento imposible) y un evento que ocurra con certeza es de 1 (evento cierto).  La probabilidad de que ocurra un evento, siendo ésta una medida de la posibilidad de que un suceso ocurra favorablemente, se determina principalmente de dos formas: empíricamente (de manera experimental) o teóricamente (de forma matemática).

I) Probabilidad empírica.- Si E es un evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento E, que a veces se le denomina definición de frecuencia relativa de la probabilidad, está dada por la siguiente fórmula:

Nota: P(E), se lee probabilidad del evento E

II) Probabilidad teórica.- Si todos los resultados en un espacio muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E está dada por la siguiente fórmula, que a veces se le denomina la definición clásica de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoría analítica de la probabilidad publicada en 1812:

G) POSIBILIDADES.- Las posibilidades comparan el número de resultados favorables con el número de resultados desfavorables. Si todos los resultados de un espacio muestral son igualmente probables, y un número n de ellos son favorables al evento E, y los restantes m son desfavorables a E, entonces las posibilidades a favor de E sonde de n (E) a m (E), y las posibilidades en contra de E son de m(E) a n(E)